高等数学A课程教学大纲

高等数学A课程教学大纲

课程编号： GE03025，GE03026

课程名称： 高等数学A

英文名称： Advanced Mathematics

学    时： 课堂讲授160（小班讨论 32）

学    分： 10

适用专业： 全校理工学科（非数学类）各专业

课程类别： 理工学科通识教育平台A组课程

先修课程： 初等数学

一、课程的性质及教学目标

高等数学课程是理工类学科各专业一门必修的重要的基础理论课程，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量人才服务的。通过本课程的学习，要使学生获得：

1．函数、极限、连续；

2．一元函数微积分学；

3．向量代数和空间解析几何；

4．多元函数微积分学；

5．无穷级数（包括傅里叶级数）；

6．常微分方程

等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。

在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。

二、课程的教学内容及基本要求

教学基本要求的高低用不同的词汇加以区分，对概念、理论从高到低用“理解”、“了解”、“知道”三级区分，对运算、方法从高到低用“熟练掌握”、 “掌握”、“会”或“能”三级区分。“熟悉”一词相当于“理解”并“熟练掌握”。

（一）函数、极限、连续

1．理解函数的概念。

2．了解函数的单调性、有界性、奇偶性和周期性。

3．了解反函数和复合函数的概念。

4．熟悉基本初等函数的性质及其图形。

5．能列简单实际问题中的函数关系。

6．了解极限的 、 定义（对于给出 求 或 不作过高要求），并能在学习过程中逐步加深对极限思想的理解。

7．掌握极限四则运算法则。

8．了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。

9．了解无穷小、无穷大的概念。掌握无穷小的比较。

10．理解函数在一点连续的概念，会判断间断点的类型。

11．了解初等函数的连续性。知道在闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大值最小值定理）。

（二）一元函数微分学

1．理解导数和微分的概念。了解导数的几何意义及函数的可导性与连续之间的关系。能用导数描述一些物理量。

2．熟悉导数和微分的运算法则（包括微分形式不变性）和导数的基本公式。了解高阶导数概念。能熟练地求初等函数的一阶、二阶导数。

3．掌握隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数的求法。

4．理解罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理。了解柯西（Cauchy）定理和泰勒（Taylor）定理。会应用拉格朗日定理。

5．理解函数的极值概念。掌握求函数的极值，判断函数的增减性与函数图形的凹性，求函数图形的拐点等方法。求描绘函数的图形（包括水平和铅直渐近线）。会解较简单的最大值和最小值的应用问题。

6．掌握罗必塔（L’Hospital）法则。

7．知道曲率和曲率半径的概念，并会计算曲率和曲率半径。

8．知道求方程近似解的二分法和切线法。

（三）一元函数积分学

1．理解不定积分和定积分的概念及性质。

2．熟悉不定积分的基本公式。熟练掌握不定积分、定积分的换元法和分部积分法。掌握较简单的有理函数的积分。

3．理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理。熟悉牛顿（Newton）-莱布尼兹（Leibniz）公式。

4．了解广义积分的概念。

5．知道定积分的近似计算法（梯形法和抛物线法）。

6．熟练掌握用定积分来表达一些几何量和物理量（如：面积、体积、弧长和功等等）的方法。

（四）向量代数和空间解析几何

1．理解向量的概念。

2．掌握向量的运算（线性运算、点乘法、叉乘法）。掌握两个向量夹角的求法与垂直、平行的条件。

3．熟悉单位向量、方向余弦及向量的坐标表达式。熟练掌握用坐标表达式进行向量运算。

4．熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。

5．理解曲面方程的概念。掌握常用二次曲面的方程及其图形。掌握以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

6．知道空间曲线的参数方程和一般方程。

（五）多元函数微分学

1．理解多元函数的概念。

2．知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。

3．理解偏导数、全微分等概念。了解全微分存在的必要条件和充分条件。

4．了解方向导数与梯度的概念，并掌握它们的计算方法。

5．熟练掌握复合函数的求导法。会求二阶偏导数。

6．会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。

7．了解曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线，并掌握它们方程的求法。

8．理解多元函数极值的概念，会求函数的极值。了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值。会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。

（六）多元函数积分学

1．理解二重积分、三重积分的概念，知道重积分的性质。

2．熟练掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。掌握三重积分的计算方法（直角坐标、柱坐标、球坐标）。

3．理解两类曲线积分的概念。知道两类曲线积分的性质。

4．掌握两类曲线积分的计算方法。

5．熟悉格林（Green）公式，会运用平面曲线积分与路径无关的条件。

6．知道两类曲面积分的概念及高斯（Gauss）公式、斯托克斯（Stokes）公式，并会计算两类曲面积分。

7．知道散度、旋度的概念。

8．能用重积分、曲线积分及曲面积分来表达一些几何量与物理量（如体积、质量、重心等等）。

（七）无穷级数

1．理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。了解无穷级数收敛的必要条件。知道无穷级数的基本性质。

2．熟悉几何级数、调和级数和P级数的敛散性。

3．掌握正项级数的比较审敛法。熟练掌握正项级数的比值审敛法。

4．掌握交错级数的莱布尼兹定理，并能估计交错级数的截断误差。

5．了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与收敛的关系。

6．知道函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7．熟练掌握较简单幂级数的收敛域的求法（可不考虑端点的收敛性）。

8．知道幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。

9．知道函数展开为泰勒级数的充要条件。

10．掌握 、 、 、 和 的麦克劳林（Maclaurin）展开式，并能利用这些展开式将一些简单的函数展成幂级数。

11．会用幂级数进行一些近似计算。

12．知道函数展开为傅里叶（Fourier）级数的充分条件，并能将定义在 和 上的函数展开为傅里叶级数。能将定义在 上的函数展开为正弦或余弦级数。

（八）常微分方程

1．了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念。

2．会识别下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分方程。

3．熟练掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。

4．会解齐次方程和伯努利方程，从中领会用变量代换求解方程的思想。

5．会解较简单的全微分方程。

6．知道下列几种特殊的高阶方程

， 和

的降阶法。

7．了解二阶线性微分方程解的结构。

8．熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并知道高阶常系数齐次线性微分方程的解法。

9．掌握自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与乘积的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。

10．知道微分方程的幂级数解法。

11．会用微分方程解一些简单的几何和物理问题。

三、课内学时安排建议

四、教学及考核方式

本课程教学一般安排在第一学年，分上、下两个学期进行。

期末课程考试可采用闭卷方式或其他形式；课程总评成绩应包括平时的考核，平时考核包括阶段测验、课后作业、课堂表现等。

五、推荐教材与主要参考书目

1．教材：

1) 湖南大学数学与计量经济学院组编：大学数学1（第二版），高等教育出版社，2008.6

2) 湖南大学数学与计量经济学院组编：大学数学2（第二版），高等教育出版社，2009.2

2．主要参考书目：

1) Finney，Weir，Giordano：托马斯微积分(第10版)，高等教育出版社，2003

2) 湖南大学数学与计量经济学院组编：大学数学学习辅导与习题选解（上、下），高等教育出版社，2004

3) 盛祥耀、葛严麟、胡金德、张元德：高等数学辅导（第二版）（上、下册），清华大学出版社，1992

4) 同济大学应用数学系：高等数学习题集（1996年修订本），高等教育出版社，1996

5) 同济大学数学系：高等数学（第六版）（上、下册），高等教育出版社，2007

6) 同济大学数学系：高等数学附册 — 学习辅导与习题选解，高等教育出版社，2007